Solución ejercicios rectas (28/04/21)

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3. Halla las ecuaciones de las rectas siguientes:

 

Recta a: en el triángulo la altura es 3 y la base es 4

 

La altura a la que choca la recta contra el eje Y es 0 -> n = 0

Ecuación:

Recta b: en el triángulo la altura es −4 y la base es 2

La altura a la que choca la recta contra el eje Y es 0 -> n = 0

Ecuación: y = −2x

Recta c: en el triángulo la altura es 4 y la base es 1

 La altura a la que choca la recta contra el eje Y es 0 -> n = 0

 Ecuación: y = 4x

Recta d: en el triángulo la altura es −1 y la base es 3

 La altura a la que choca la recta contra el eje Y es 0 -> n = 0

Ecuación:

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3. Escribe la ecuación de cada una de las rectas:

Recta a: 

pendiente: Altura = −2 Base = 3 -> m = −2/3
Altura en el origen: n= −2
Ecuación

Recta b: 

pendiente: Altura = 4 Base = 2 -> m = 4/2 = 2
Altura en el origen: n= −3
Ecuación: y = 2x −3

Recta c:  

Pendiente: m= 0 (Recta HORIZONTAL)
Ecuación:  y= 4

 

 

* Escribe la ecuación dela recta que pasa por los puntos:
a) A(0, −1)  y B(3,2)

Como es una recta su fórmula es y = mx + n

Pasa por el punto A(0, −1) -> n= −1

Ahora calculamos la pendiente con la fórmula de ayer

Ecuación: y = x − 1

b) A(0, 0)  y B(2,−2)

Pasa por el punto A(0, 0) -> n= 0

Ecuación: y = −x

Ecuación punto-pendiente (2804)

 Solución de las tareas del día anterior

Ecuación punto-pendiente

La ecuación de una recta con pendiente m y que pasa por el punto (x₀, y₀) es

y = y₀ + m(x − x₀)

Ejemplo: Escribe la ecuación dde la recta con pendiente m= 2 y que pasa por el punto A(−1, 3)

Sustituimos los valores de m y las coordenadas del punto en la fórmula anterior

Respuesta: y = 3 + 2(x −(−1) ); y = 3 + 2(x +1); y = 2x + 5

Para el próximo día aplicando la fórmula que acabamos de ver haced el ejercicio 1 (pág 167) y 1 a (pág 168)

Ejercicios de puntos singulares y crecimiento (2804)

Comprueba que f(x) = x³ + 3x no tiene puntos singulares y estudia su crecimiento

Puntos singulares -> f '(x) = 0

f '(x) = 3x² + 3 = 0; 3(x² + 1) = 0; x² + 1= 0; x² = −1 SIN SOLUCIÓN REAL

Por lo tanto esta función NO tiene puntos singulares

x	(−∞,∞)
f '(x)	Positiva
f (x)	Creciente

 Esta función SIEMPRE es creciente

Estudia el crecimiento de  f(x) = x³ − 3x² + 2 y halla los extremos relativos (máximos y mínimos) ¿Cuáles son los puntos singulares de f(x)?

a) f(x) = x³ − 2x² +x +2

 f '(x) = 3x² − 4x + 1 = 0

Resolviendo con la fórmula de siempre x = 1 ,  x= 1/3

f(x) tiene puntos singulares en x = 1 x= 1/3

x	(−∞,1/3)	1/3	(1/3,1)	1	(1, ∞)
f '(x)	Positiva	0	Negativa	0	Positiva
f (x)	Creciente	Max  f(1/3)=58/27	Decreciente	Mín f(1)=2	Creciente

b) f(x) = x⁴ − 8x² + 10

f '(x) = 4x³ − 16x = 0; 4x(x² − 4) = 0

• 4x = 0; x=0
• x² − 4 = 0; x² = 4; x= −2    ,  x= +2

Esta función tiene puntos singulares en  x= −2,  x= +2 y x= 0

x	(−∞, −2)	−2	(−2,0)	0	(0, +2)	2	(2, +2)
f '(x)	Negativa	0	Positiva	0	Negativa	0	Positiva
f (x)	↘️	Min f(−2)= −6	↗️	Max f(0)=10	↘️	Min f(2) = −6	↗️

Estudia el crecimiento de  f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 3 y halla los extremos relativos (máximos y mínimos) ¿Cuáles son los puntos singulares de f(x)?

Estudiamos el signo de f '(x)
Resolvemos f '(x) = 0 → f '(x) = 6x² − 6x −12= 0; x² − x − 2 = 0

x = −1; x = 2

Los puntos singulares de f(x)  son x = 0 y x = 2

x	(−∞,−1)	−1	(−1,2)	2	(2, ∞)
f '(x)	Positiva	0	Negativa	0	Positiva
f (x)	Creciente	Max  f(−1)=10	Decreciente	Mín f(2)=−17	Creciente

Ejemplos: crecimiento de funciones (2604)

Estudia el crecimiento de  f(x) = x³ − 3x² + 2 y halla los extremos relativos (máximos y mínimos) ¿Cuáles son los puntos singulares de f(x)?

Estudiamos el signo de f '(x)
Resolvemos f '(x) = 0 → f '(x) = 3x² − 6x= x(3x − 6) = 0 → x₁ = 0; x₂ = 2

Los puntos singulares de f(x)  son x = 0 y x = 2

x	(−∞,0)	0	(0,2)	2	(2, ∞)
f '(x)	Positiva	0	Negativa	0	Positiva
f (x)	Creciente	Max  f(0)=0	Decreciente	Mín f(2)=−2	Creciente

f(x) es creciente en (−∞,0)∪(2, ∞) y decreciente en (0,2)
f(x) tiene un máximo en x= 0 que vale 0
f(x) tiene un mínimo en x= 2 que vale  −2

Estudia el crecimiento de  f(x) = x³ − 3x + 2 y halla los extremos relativos (máximos y mínimos) ¿Cuáles son los puntos singulares de f(x)?

Estudiamos el signo de f '(x)
Resolvemos f '(x) = 0 → f '(x) = 3x² − 3 = 0 → x₁ = −1 ; x₂ = +1

Los puntos singulares de f(x)  son x = −1 y x = +1

x	(−∞,−1)	−1	(−1,+1)	+1	(+1, ∞)
f '(x)	Positiva	0	Negativa	0	Positiva
f (x)	Creciente	Max  f(−1)=4	Decreciente	Mín f(2)=0	Creciente

f(x) es creciente en(−∞,−1)∪(+1, ∞) y decreciente en (−1,+1)
f(x) tiene un máximo en x=−1  que vale 4
f(x) tiene un mínimo en x= +1 que vale  0

Pendiente y altura en el origen (2604)

Cualquier función lineal tiene una ecuación del tipo y = mx + n
Dónde m es la pendiente y n la altura en el origen

1. Comprueba si el punto A(1,2) pertenece a la recta y= 2x −1

Hacemos como en las ecuaciones: sustituye a ver si sale Verdad o Falso

2 = 2·1 - 1 -> 2 = 1 -> FALSO -> A(1,2) NO es un punto de esta recta

¿Y B(0, −1) pertenece a esta recta?

−1 = 2·0 −1 -> −1 = −1 -> VERDAD -> B(−1, 0) SÍ es un punto de esta recta

2. Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2,3) y B(4,−1)

Sabemos que es una recta -> y = mx + n
Aplicando lo que hemos visto en el ejercicio anterior, sustituimos y planteamos un sistema

Resolvemos por reducción para eliminar la n

y n = 7

La ecuación de la recta es y= −2x+7

Para la pendiente hay una recta que pasa por dos punto A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂) tenemos esta fórmula sin necesidad de plantear el sistema

Aquí también se ve que hacen falta dos puntos (dos ecuaciones) para determinar una recta (pendiente m y altura en el origen n)

3. Cuánto vale la altura en el origen (n) y la pendiente (m) de la recta que pasa por A(0, 3) y B(2, −1)

Por definición n es la altura y en  el origen (x= 0) 
Por lo tanto si A(0, 3) -> n = 3

Y a partir de la fórmula anterior:

La ecuación de la recta es y = x +3

4. A partir de la gráfica siguiente escribe la ecuación de la recta.

Se puede extraer un par de puntos a partir de la gráfica o usar la fórmula de la pendiente:

n = −1 porque la recta choca con el eje Y a la altura −1

La ecuación de la recta y= 2x −1

Para el próximo día ejercicio 3 pág 165, ejercicio 3 pág 166, y
* Escribe la ecuación de las rectas que pasan por los puntos:
a) A(0, −1) y B(3,2)
b) A(0,0) y B(2, −2)