Ejemplos: crecimiento de funciones (2604)

Estudia el crecimiento de  f(x) = x³ − 3x² + 2 y halla los extremos relativos (máximos y mínimos) ¿Cuáles son los puntos singulares de f(x)?

Estudiamos el signo de f '(x)
Resolvemos f '(x) = 0 → f '(x) = 3x² − 6x= x(3x − 6) = 0 → x₁ = 0; x₂ = 2

Los puntos singulares de f(x)  son x = 0 y x = 2

x	(−∞,0)	0	(0,2)	2	(2, ∞)
f '(x)	Positiva	0	Negativa	0	Positiva
f (x)	Creciente	Max  f(0)=0	Decreciente	Mín f(2)=−2	Creciente

f(x) es creciente en (−∞,0)∪(2, ∞) y decreciente en (0,2)
f(x) tiene un máximo en x= 0 que vale 0
f(x) tiene un mínimo en x= 2 que vale  −2

Estudia el crecimiento de  f(x) = x³ − 3x + 2 y halla los extremos relativos (máximos y mínimos) ¿Cuáles son los puntos singulares de f(x)?

Estudiamos el signo de f '(x)
Resolvemos f '(x) = 0 → f '(x) = 3x² − 3 = 0 → x₁ = −1 ; x₂ = +1

Los puntos singulares de f(x)  son x = −1 y x = +1

x	(−∞,−1)	−1	(−1,+1)	+1	(+1, ∞)
f '(x)	Positiva	0	Negativa	0	Positiva
f (x)	Creciente	Max  f(−1)=4	Decreciente	Mín f(2)=0	Creciente

f(x) es creciente en(−∞,−1)∪(+1, ∞) y decreciente en (−1,+1)
f(x) tiene un máximo en x=−1  que vale 4
f(x) tiene un mínimo en x= +1 que vale  0