Límites de funciones polinómicas (2503)

 Cálculo de límites en el infinito a partir de la fórmula de la función

Función polinómica

Empezaremos calculando el límite de una función polinómica

Hacemos como siempre sustituimos x por  ∞

Si cogemos un número que crece sin tope (x tiende a infinito) lo elevamos al cuadrado y lo multiplicamos por 3 y le sumamos un numero que crece sin tope obtenemos un número que crece sin tope, es decir, f(x) tiende a infinito

Comprobemos que es cierto mirando su gráfica en  fooplot.com

 

Después de sustituir x por infinito nos podemos encontrar estas expresiones:

• ∞ + k = ∞
• ∞ + ∞ = ∞ 
• ∞ − ∞  indeterminación
  
• k·∞ = ∞ si k>0
• k·∞ = −∞ si k<0
• ∞·∞ = ∞
• ∞ⁿ = ∞ si n > 0        (n puede ser una fracción, o sea raíces)
  
•  k/∞ = 0 si k ≠0

Tanto para resolver la indeterminación, como en general con funciones polinómicas se pueden calcular los límites en el infinito quedándonos SOLO con el término principal del polinomio (el de mayor grado)

Hay que tener en cuenta que  cuando x se hace MUY grande (por ejemplo un millón) los términos 2x y 3 son despreciables frente a x²

Lo podemos ver en la gráfica de fooplot. Cerca de 0 (valores pequeños de x) las dos funciones son distintas, pero cuánto más grande es x menos diferencia hay entre las dos. Para valores MUY grandes de x, las funciones son casi IDÉNTICAS

 Resolvemos de esta forma una indeterminación tipo ∞  − ∞

 

Si x → − ∞ HAY que tener en cuenta las REGLAS DE LOS SIGNOS en productos y potencias.

Más ejemplos de límites de funciones polinómicas

Recuerda: 

• Sustituimos x por ∞
• La regla de los signos del producto y las potencias se sigue cumpliendo
  
• Si tenemos una indeterminación ∞−∞ en una función polinómica nos quedamos solo con el término de mayor grado del polinomio.

 

 

 

En realidad es una recta decreciente.

La gráfica de esta función es una parábola con el vértice apuntando hacia arriba.