Recordatorio: la primera derivada de una función en x = a funciona como la pendiente de una recta
Recordatorio:
- Pendiente positiva (m > 0) → recta creciente
- Pendiente negativa (m < 0) → recta decreciente
- Pendiente cero (m = 0) → recta horizontal
- f '(a) > 0 → La función es creciente en x = a La función SUBE
- f '(a) < 0 → La función es creciente en x = a La función BAJA
Puntos SINGULARES de f(x) son los puntos x que anulan la derivada → f '(x) = 0
Ejemplo 1: Halla los puntos singulares de f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 3
Primero derivamos f '(x) = 2·3x2 − 3·2x − 12·1 = 6x2 − 6x − 12
Los puntos singulares cumplen f '(x) = 0 → 6x2 − 6x − 12 = 0
Simplificamos la ecuación y resolvemos x2 − x − 2 = 0 → x1 = −1 ; x2 = 2
Solución: Los puntos singulares de f(x) están en −1 y 2
Estudio crecimiento de f(x)∼Estudio del signo de f '(x)
Ejemplo 2: Crecimiento de f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 3 y halla los extremos relativos (máximos y mínimos)
Estudiamos el signo de f '(x)
Resolvemos f '(x) = 0 → f '(x) = 6x2 − 6x − 12 = 0 → x1 = −1 ; x2 = 2
| x | (−∞,−1) | −1 | (−1,2) | 2 | (2, ∞) |
| f '(x) | Positiva | 0 | Negativa | 0 | Positiva |
| f (x) | Creciente | Max f(-1)= 10 | Decreciente | Mín f(2)=-17 | Creciente |
¿Cómo se que f '(x) es Positiva en (−∞,−1)?
Pues como siempre, evalúo f '(x) en un punto dentro de ese intervalo, por ejemplo en x = − 2
f '(− 2) = 6(− 2)2 − 6(− 2) − 12 = + 24
Entonces f '(x) es positiva en todo el intervalo.
Lo mismo se puede hacer con los demás intervalos.
¿Porqué en x = − 1 hay un máximo? Por que antes la función SUBE y después BAJA.
Solución:
f(x) es creciente en (−∞,−1) y (2, ∞)
f(x) es decreciente en (−1,2)
f(x) tiene un máximo relativo en el punto (−1,10) y un mínimo en (2,−17)
Vídeo sobre Puntos Singulares, crecimiento y derivadas Cuidado, lo de curvatura no tiene que ver con 1º de bachillerato (desde el minuto 6:20 es de 2º bach)
No hay comentarios:
Publicar un comentario