Crecimiento y derivada 1 Bach (14/04/2020)

Recordatorio: la primera derivada de una función en x = a funciona como la pendiente de una recta

f '(a) ∼ pendiente

Recordatorio: 

• Pendiente positiva (m > 0) → recta creciente
• Pendiente negativa (m < 0) → recta decreciente
• Pendiente cero (m = 0)        → recta horizontal

Ahora derivada (primera derivada y crecimiento). Calculamos f '(a)

•   f '(a) > 0 → La función es creciente en x = a La función SUBE
•  f '(a) < 0 → La función es creciente en x = a La función BAJA

 Esto también encaja con f '(a) ∼ velocidad VERTICAL en a  

Puntos SINGULARES de f(x) son los puntos x que anulan la derivada → f '(x) = 0

Ejemplo 1: Halla los puntos singulares de f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 3

Primero derivamos  f '(x) = 2·3x² − 3·2x − 12·1 = 6x² − 6x − 12

Los puntos singulares cumplen f '(x) = 0 → 6x² − 6x − 12 = 0 

Simplificamos la ecuación y resolvemos x² − x − 2 = 0 → x₁ = −1 ; x₂ = 2

Solución: Los puntos singulares de f(x) están en −1 y 2

Estudio crecimiento de f(x)∼Estudio del signo de f '(x)

Ejemplo 2: Crecimiento de  f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 3 y halla los extremos relativos (máximos y mínimos)

Estudiamos el signo de f '(x)

Resolvemos f '(x) = 0 → f '(x) = 6x² − 6x − 12 = 0 → x₁ = −1 ; x₂ = 2

x	(−∞,−1)	−1	(−1,2)	2	(2, ∞)
f '(x)	Positiva	0	Negativa	0	Positiva
f (x)	Creciente	Max  f(-1)= 10	Decreciente	Mín f(2)=-17	Creciente

¿Cómo se que f '(x) es Positiva en (−∞,−1)?
Pues como siempre, evalúo f '(x) en un punto dentro de ese intervalo, por ejemplo en x =  − 2
f '(− 2) = 6(− 2)² − 6(− 2) − 12 = + 24
Entonces f '(x) es positiva en todo el intervalo.
Lo mismo se puede hacer con los demás intervalos.

¿Porqué en  x = − 1 hay un máximo? Por que antes la función SUBE y después BAJA.

Solución:
f(x) es creciente en (−∞,−1) y  (2, ∞)
f(x) es decreciente en (−1,2)
f(x) tiene un máximo relativo en el punto (−1,10) y un mínimo en (2,−17)

Vídeo sobre Puntos Singulares, crecimiento y derivadas Cuidado, lo de curvatura no tiene que ver con este curso (miradlo hasta el minuto 6:20, después es de 2º bach) 
Todo esto está en las páginas 194 y 195 del libro.   

Haced los ejercicios 18 y 19 de la página 206