Asíntotas. Funciones racionales 2ºBach

Lo necesario para representar una función como siempre está en Estudio gráfico de funciones


1) Dom f(x) = R - {puntos que anulan el denominador}
2) Simetría: se ve en los exponentes de los términos
3) Asíntotas
4) Crecimiento y Puntos Singulares

Los puntos principales son el 3 y el 4, aunque el punto es necesario para ver si hay asíntotas verticales.

Asíntotas verticales: Puede haber en los puntos que están fuera del dominio pero siempre hay que asegurarse calculando los límites laterales.

Asíntotas horizontales/oblicuas: solo puede haber una o ninguna de los dos tipos.
En funciones racionales f (x ) = N (x )/D( x) :

• Grado N (x) ≤  Grado D(x ) ........... Asíntota horizontal
• Grado N (x) − Grado D(x ) = 1 ...... Asíntota oblicua … y = Cociente (N/D)
• Grado N (x)− Grado D(x ) > 1 ....... Ni asíntota horizontal ni oblicua (rama parabólica)

Vamos a calcular las asíntotas de varias funciones racionales 


Mirando los grados de numerador y denominador sabemos que habrá una asintota horizontal


Como el resultado es finito, entonces tenemos asíntota horizontal  y = 0
¿Qué quiere decir el exponente en el 0? Pues que la curva se acerca a  y = 0 en la derecha, pero desde abajo (ver la gráfica)

Vamos a ver que pasa ahora por la izquierda


En la izquierda la ecuación de la asíntota horizontal es la misma y= 0
La diferencia es que como el exponente es + entonces la curva se acerca a la recta desde arriba.

Asintonta vertical: Dom y = R - {1}
El único punto en el que PUEDE haber una asíntota vertical es en x = 1, pero hay que comprobar que sale infinito en el límite



Con esto ya sabemos que hay asíntota en x = 1, pero con un poco más de trabajo podemos saber como se acerca la curva a la asíntota vertical calculando los límites laterales:

Siguiente función:


Mirando los grados de numerador y denominador sabemos que habrá una asintota horizontal


Como el resultado es finito, entonces tenemos asíntota horizontal  y = − 1
En esta función la asíntota vertical tiene mucho en común con el caso anterior:
Dom y = R - {1}

Con esto ya sabemos que hay asíntota en x = 1, pero con un poco más de trabajo podemos saber como se acerca la curva a la asíntota vertical calculando los límites laterales:
 

Otro tipo de función racional:
Mirando los grados de numerador y denominador sabemos que habrá una asintota oblicua

Para calcular la asíntota oblicua hay varios métodos, pero en este caso lo más sencillo es hacer la división por Ruffini

    | -1    0    0
 1 |       -1   -1
     - 1   -1 | -1
La ecuación de la asíntota oblicua es y = - x - 1. Aquí el resto no importa.

Tenéis un resumen sobre asíntotas y ramas infinitas que os puede ser útil en la página 199 del libro.

Vídeo sobre funciones racionales asíntotas y monotonía (crecimiento)

Ejemplos de representación de funciones polinómicas y racionales 
 
Para practicar esto haced: 

• ejercicio 11 (pag 215) apartados b), c), d) e i)
• ejercicio 12 (pag 215) apartados c) y d) (en este caso hay que estudiar crecimiento) 

Podéis dejar dudas y preguntas en los comentarios de esta entrada o en fauslobo+prof@gmail.com