Gráficas de funciones racionales 1ºBach

Lo último que vimos fueron las asíntotas de funciones racionales y como calcular la posición de l acurva f(x) respecto de las asíntotas. Con eso y todo lo anterior ya somos capaces de estudiar una función racional y hacer un esbozo de su gráfica.

Pasos del estudio
1) Dominio
2) Asíntotas
3) Crecimiento y extremos relativos.
4) Puntos de corte con los ejes y tabla de valores (opcional)

Lo explicaré aplicándolo al ejercicio 2e) de la página 199.



1. Dominio

Como es racional: x² - 2 x = 0 → x(x-2)= 0
Dom f(x) = R - {0,2}

2. Asíntotas

A. Verticales: Puede haber en x = 0 y x= 2
Comprobemoslo calculando los límites laterales.
→ AV  en x = 0

¿Cómo se que si x tiende a 0 por la izquierda (x  → 0^-) el denominador vale 0⁺?

Evalúo en la hoja en sucio Den(x) = x² - 2 x para un número cercano a 0 por la izquierda (por ejemplo x = -0,1) → (-0,1)² - 2·(-0,1) = + 0,21 > 0  → 0⁺

E igual en el otro caso.

Por otro lado, como el resultado de los límites es infinito sabemos que hay asíntota vertical con ecuación x = 0



Como el resultado es infinito → AV  en x =2

Como el grado de numerador (2) es igual algrado del denominador habrá asíntota horizontal (ver esquema). Calculemos la ecuación de la recta horizontal a la que se acercará la función cuando vayamos muy a la derecha (+∞) o muy a la izquierda (- ∞)



Como el resultado NO es infinito, hay asíntota horizontal

Para saber si nos acercamos a la recta y = 1 desde abajo (1^-) o desde arriba (1⁺) lo que hacemos es evaluar (en la hoja en sucio) la función para un valor grande de x en valor absoluto. Por ejemplo, para x → − ∞ cogemos x = −100 que nos da y(-100) = 0,98 (1^- desde abajo) y para x → +∞ cogemos x = + 100 que nos da y(100) = 1,02 (1⁺ desde arriba)

3. Puntos singulares, cercimiento y extremos relativos

Para encontrar los puntos singulares igualamos a 0 la derivada


y' = 0 → -2 x² - 4x + 4 = 0 → x² + 2 x - 2 = 0 → x₁ = 0,73 x₂ = -2,73 (Puntos singulares)

Para analizar el crecimiento de y estudiamos el signo de y'

x	(-∞;-2,73)	-2,73	(-2,73:0)	0	(0;0,73)	0,73	(0,73;∞)	2	(2,∞)
y'	−	0	+	∞	+	0	-	∞	-
y	↘	Min	↗	A.V.	↗	Max	↘	A.V.	↘

Con esta información ya podemos montar un boceto con las asíntotas y los máximos y mínimos relativos





4. Si no lo vemos suficientemente claro siempre podemos calcular una tabla de valores o los puntos de corte de y con el eje X y con el eje Y. Pero esto es opcional y no obligatorio, aunque mucha gente lo hace.

Y ahora la gráfica completa uniendo los fragmentos que tenemos:




Para practicar: ejercicio 2 apartado b) y apartado d) de la página 199. Y ejercicios 25 y  31 de la página 207 (corrección este jueves)

Por último un vídeo sobre la gráfica de funciones racionales

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