Cálculo del área 2ºBach

El cálculo de áreas es un viejo problema que en el s. XVII se concentró en la siguiente pregunta:

¿Cómo calcular el área comprendida entre la curva de una función f(x), el eje X y dos rectas verticales ?


Si f(x) > 0 en el intervalo [a, b] Entonces


Vemos que esto es cierto en un caso sencillo:


La función constante f(x) = 2 es una línea horizontal de altura 2, si queremos calcular el área comprendida entre f(x), el eje X y los números = 1 y x= 5, nos encontramos con un rectángulo de altura 2 y base = 5 - 1 = 4. Entonces el área sería A = 2·4 = 8

  

 Otra propiedad geométrica de la integral definida.

Si f(x) < 0 en el intervalo [a, b]. Entonces
 


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Vamos a calcular varias áreas:

1. Calcula el área comprendida entre f(x) = − x² +4, el eje X y las rectas x = −1 y x=1
Primero vemos dónde este polinomio  puede cambiar de signo f(x) = 0 (puntos de corte eje X)
  −x² +4 = 0  ⇒ x = −2 x = +2
Esto quiere decir que los únicos lugares en los que esta función polnómica puede cambiar de signo es nen estos dos puntos que están fuera de nuestro intervalo de integración [−1, +1]
No sé cuál será el signo de f(x) dentro de este intervalo, pero lo importante es que no cambia.



Como el resultado que nos ha salido es positivo y sabemos que la función no cruza el eje X

A = 26/3 = 8,66

Aunque NO es necesario, aquí voy a dejar una gráfica de este problema. Dibujo

2. Calcula el área comprendida entre f(x) = x³, el eje X y las rectas x = −2 y x=1
Primero vemos dónde este polinomio  puede cambiar de signo f(x) = 0 (puntos de corte eje X)
 x³ = 0  ⇒ x = 0

En x = 0 puede que cambie el signo del polinomio y 0 esta dentro del intervalo [ −2, 1]. Por eso dividimos el cáculo del área en dos zonas.



Como una de las dos integrales definidas ha salido negativa sabemos que el área asociada será la opuesta.

A₁ = -(-4) = +4
A₂ =  1/4 = 0,25
A = A₁ + A₂ = 4,25



3. Calcula el área comprendida entre f(x) = x² , g(x) = x
En casos como este puede ser interesante hacer un dibujo antes, aunque no es necesario. Yo lo haré sin hacer dibujo y pondré la gráfica al final.

En este caso no  me dan el intervalo de integración. Lo primero que hacemos es ver donde se cruzan las dos funciones. Es decir:

f(x) = g(x)⇒x² = x ⇒ x = 0 x = 1

Ahora integramos en el intervalo [0,1] pero la resta f(x) - g(x) que es la altura de la figura



Como sale negativo sabemos que el área será el valor opuesto.

 A = 1/6



Vídeo sobre Cálculo de áreas mediante integrales. Es un poco largo y por el método que yo os he contado no es necesario dibujar, pero si los puntos d coret con el eje X 

Práctica: ejercicios 14 (a, b,c, d) y 16 (b, c) de la página 239

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