Asíntotas de funciones racionales 1ºBach

Una de las informaciones más útiles para estudiar una función racional es el cálculo de ASÍNTOTAS basado en los límites. Las podemos ver como las barras sobre las que tenderemos la curva de la función.

Antes de hacer los cálculos veamos varios ejemplos de funciones con asíntotas

 
Las asíntotas son las rcetas de color rojo
A partir de la gráfica se ve que


Pero a partir de ahora en lugar de calcular los límites a partir de la gráfica, hallaremos las asíntotas y dibujaremos las gráficas a partir de los límites.

Vamos a ver ahora un ejemplo de asíntota oblicua




Asíntotas verticales: Puede haber en los puntos que están fuera del dominio pero siempre hay que asegurarse calculando los límites laterales.

Asíntotas horizontales/oblicuas: solo puede haber una o ninguna de los dos tipos.
En funciones racionales f (x ) = N (x )/D( x) :

• Grado N (x) ≤  Grado D(x ) ........... Asíntota horizontal
• Grado N (x) − Grado D(x ) = 1 ...... Asíntota oblicua … y = Cociente (N/D)
• Grado N (x)− Grado D(x ) > 1 ....... Ni asíntota horizontal ni oblicua (rama parabólica)

Ejemplos: Vamos a calcular las asíntotas de varias funciones racionales 


Mirando los grados de numerador y denominador sabemos que habrá una asintota horizontal


Como el resultado es finito, entonces tenemos asíntota horizontal  y = 0
¿Qué quiere decir el exponente en el 0? Pues que la curva se acerca a  y = 0 en la derecha, pero desde abajo (ver la gráfica)

Vamos a ver que pasa ahora por la izquierda


En la izquierda la ecuación de la asíntota horizontal es la misma y= 0
La diferencia es que como el exponente es + entonces la curva se acerca a la recta desde arriba.

Asintonta vertical: Dom y = R - {1}
El único punto en el que PUEDE haber una asíntota vertical es en x = 1, pero hay que comprobar que sale infinito en el límite



Con esto ya sabemos que hay asíntota en x = 1, pero con un poco más de trabajo podemos saber como se acerca la curva a la asíntota vertical calculando los límites laterales:




Siguiente función:


Mirando los grados de numerador y denominador sabemos que habrá una asintota horizontal


Como el resultado es finito, entonces tenemos asíntota horizontal  y = − 1
En esta función la asíntota vertical tiene mucho en común con el caso anterior:
Dom y = R - {1}

Con esto ya sabemos que hay asíntota en x = 1, pero con un poco más de trabajo podemos saber como se acerca la curva a la asíntota vertical calculando los límites laterales:
 

Otro tipo de función racional:
Mirando los grados de numerador y denominador sabemos que habrá una asintota oblicua

Para calcular la asíntota oblicua hay varios métodos, pero en este caso lo más sencillo es hacer la división por Ruffini

    | -1    0    0
 1 |       -1   -1
     - 1   -1 | -1


La ecuación de la asíntota oblicua es y = - x - 1. Aquí el resto de la división no importa..

Vídeo sobre funciones racionales asíntotas y monotonía (crecimiento)

Ejemplos de representación de funciones polinómicas y racionales 

Para practicar: Calculad dominios, las asíntotas y un esbozo de la gráfica de las funciones siguientes

 



 
 
 
 

 Publicaré la solución el próximo martes



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