Cálculo de primitivas (0405)

Primero,...  no asustarse.

De igual manera que la resta es la operación inversa de la suma,

la integral es la operación inversa de la derivada

Cálculo de primitivas

Sabemos que (3x² + x)' = 6x + 1

Podemos decir que  3x² + x es una primitiva de 6x + 1

  En general, si F'(x) = f(x) entonces F(x) es una primitiva de f(x)  

¿Solo hay una primitiva de cada función?  NO

Por ejemplo, 3x² + x + 1, 3x² + x - 5, 3x² + x + 2π

Si queremo escribir TODAS las primitivas de f(x) = 6x + 1 hay que escribirlo así F(x) = 3x² + x + C

Integral indefinida

Este es el nombre que recibe la operación del cálculo de primitivas, es decir, la inversa de la derivada.

 

Estos dos simbolos rodean a la función a integrarcomo si fuera un paréntesis. El último símbolo dx, llamado diferencial de x, nos dice cuál esla variable de integración.

Llamamos a f(x) integrando


Propiedades de la integral indefinida 

Lógicamente son muy parecidas a las propiedades de las derivadas:
1) Integral de una suma es suma de integrales

2) La integral de una constante por una función es la constante por la integral de la función

Dicho de otra manera, la constante multiplicatva sale fuera de la integral de igual manera que sale fuera de la derivada.

Se acabo, NO hay fórmula para integrar un producto de funciones o un cociente de funciones.

Y ahora cogemos una fórmula de las derivadas y le damos la vuelta:

Función potencial:   Como ya sabéis (xⁿ)' = n x^n-1 , entonces

 

¿Se puede comprobar que este resultado es correcto? Por su propia definición, será correcto si la derivada del resultado tiene que ser igual al integrando.

¿Y si n = - 1?

 

Todo lo anterior ya nos permite integrar CUALQUIER polinomio.



Otro ejemplo:


Comprobación: 

Vídeo Integral indefinida de un polinomio

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Ejercicio 1. En este caso solo hay que aplicar la fórmula de la función potencial. Si se trata de una función radical primero convertimos la raíz en una potencia de exponente fraccionario, si hay varias raíces multiplicando o dividiendo hay que simplificar antes de integrar.


Ejercicio 2. En este caso, primero operamos separando la fracción en suma de varias fracciones y simplificando antes de integrar:


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