Cálculos con fórmulas: límites y continuidad (1703)

 

a) Como el primer límite es cuando  x tiende a −2 la fórmula buena de f(x) es la primera (que es la fórmula de una función continua en x=−2 )

 b) Como el límite se calcula cuando  x tiende a 3 la fórmula buena de f(x) es la segunda (que es la fórmula de una función continua en x=3 )

 c) En este caso estamos en la frontera, el punto de ruptura de la función definida a trozos x= 0. Por eso dependiendo de por cuál de los dos lados nos acerquemos a 0 es necesario usar una fórmula u otra. 

Por eso es necesario calcular los límites laterales:

Como ambos limites laterales coinciden ⇒ el limite existe

 

Vamos a hacernos otra pregunta sobre esta función.

¿f(x) es CONTINUA en x = 0?

Podríamos contestar dibujando la gráfica, pero como ya tenemos hecho el trabajo con  los límites recordaremos la propiedad que nos relaciona limites y continuidad

Ya hemos visto antes que el limite existe

Ahora calculamos f(0) = 1

Como 

Esto demuestra que la función f(x)  es continua en x= 0

Para comprobar lo que estoy diciendo vamos a dibujar la gráfica de f(x):

Para el próximo día hay que hacer los ejercicios 14 a y c de la pág 178 y 9 a,b y c de la pág 177

Tipos de discontinuidad

Ya sabemos lo que se tiene que cumplir para que f(x) sea continua en un punto.

Pero de cuántas maneras puede ser discontinua una función en x=c:

• Discontinuidad EVITABLE:  el limite existe, pero o no coincide con el valor de f(c) o NO existe f(c) 
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• Salto FINITO: los límites laterales no coinciden pero son números (no son ∞)
  
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• Salto INFINITO: alguno de los límites laterales es infinito ∞
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