Probabilidad y sus propiedades (17/05/21)

Soluciones ejercicios de probabilidad básica

Probabilidad y sus propiedades

La probabilidad es un número que nos da información sobre si algo va a ocurrir o no.
Desde P = 1 (seguro que ocurre) hasta P = 0 (seguro que no ocurre)

Propiedades de la probabilidad

1. La probabilidad es un número entre 0 y 1
       Suceso Seguro P(E) = 1 
       Suceso Imposible P(Ø) = 0
2. Unión de sucesos P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) Si A y B son incompatibles => P(A∪B) = P(A) + P(B)
3. Contrario de un suceso P(A')=1−P(A)
   

La probabilidad tiene casi las mismas propiedades que el área.

Si sumamos el área de A y B hemos contado dos veces la intersección A∩B y por eso restamos la intersección una vez.

IMPORTANTE: "o" se convierte en UNIÓN (U)
                           "y" se convierte en INTERSECCIÓN (∩)

Ejercicio: Tenemos una moneda cargada (con trampa) y sabemos que la probabilidad de que salga cara es 0,6 P(C) = 0,6 ¿Cuál es la probabilidad de que salga cruz en esta moneda?


Cara y cruz son sucesos contrarios. Por lo tanto aplicando la propiedad 3

P(+) = 1 − P(C) = 1 − 0,6 = 0,4

Ejercicio: En una botella tenemos 10 bolas numeradas de 1 al 10. El experimento consiste en ver que bola sale la primera de la botella. Como las bolas pesan distinto nos dan las probabilidades:

P(1) = P(2) = P(3) = 0,08
P(4) = P(5) = P(6) = P(9) = 0,15
P(7) = P(8) = 0,05
P(10) =  0,06

a) Comprueba P(E) = 1
Esto siempre se tiene que cumplir, si no se cumple o los datos están mal o hemos hecho algo mal.
E = {1,2,... 10}
En este caso nno hay que tener en cuenta las intersecciones porque no pueden salir dos bolas a la vez de la botella, por ejemplo,  P(1 ∩ 3) = 0
P(E) = P(1 U 2 U 3....U 10) =P(1) + P(2) + ··· + P(10) = 0,08 + ··· + 0,06 = 1

b) Probabilidad de Par
Par = {2,4,6,8,10}
Son sucesos incompatibles P(Par) = P(2) + P(4) + P(6) +P(8) +P(10) = 0,49

c) Probabilidad de Impar
Suceso contrario P(Impar) = 1 − P(Par) = 0,51

d) Probabilidad de "mayor que 7"
"mayor que 7" = {8,9,10}
P("mayor que 7") = P(8) + P(9) + P(10) = 0,26 

e) Probabilidad de "mayor que 7" y Par
"mayor que 7" y Par = {8,10}
 P( "mayor que 7" y Par) = P(8) + P(10) = 0,11

f) Probabilidad de "mayor que 7" o Par
Se puede hacer de dos formas: listando los casos o usando las propiedades. Lo haremos usando las propiedades.

P("mayor que 7" o Par) = P("mayor que 7" U Par) =
P("mayor que 7") + P(Par) − P( "mayor que 7" ∩ Par) =
0,26  + 0,49 − 0,11 = 0,64

Hay que restar 0,11 porque hemos contado dos veces el 8 y el 10, una vez como números mayores que 7 y otra vez como números pares.

Ejercicios para practicar:

1. Halla la probabilidad de A = {2,3,4,8,9,10} y A' para el experimento anterior.

2. En un sorteo de lotería observamos la cifra en la que termina el "gordo":
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b) Escribe los sucesos A = "menor que 5" y B = Par
c) Halla los sucesos AUB, A∩B, A', B', A'∩B'
d) Suponiendo que todos los números tienen la misma probabilidad de salir, calcula las probabilidades de los sucesos A, B, AUB, A∩B, A', B', A'∩B'