Solución de los ejercicios de probabilidad condicionada (24/05/21)

Vamos a resolver los últimos ejercicios de probabilidad

1. Lanzamos un dado, y después, sacamos una bola de la bolsa- Estas dos experiencias, ¿son dependientes o independientes?

Son independientes, porque la probabilidad de sacar una bola u otra no depende de qué haya salido en el dado.

2. Lanzamos un dado. Si sale par extraemos una bola de la bolsa A. Si sale impar,  de la B. Las experiencias, ¿son dependientes o independientes?


Son dependientes porque al ser el contenido de las dos bolsas distintos, la probabilidad de sacar una bola de un color u otro depende de qué bolsa se elija y eso depende de la cara que ha salido en el dado.



3. Lanzamos tres dados de 6 caras ¿Cuál es la probabilidad de que las tres puntuaciones sean menores que 5?

Las tres tiradas son independientes. Se multiplican las probabilidades

P(las tres menores de 5) = P(<5)·P(<5)·P(<5) = (4/6)³ = 8/27 ≅ 0,296

4. En una clase hay 12 chicos y 18 chicas. Elegimos al azar dos estudiantes de esa clase. Calcula la probabilidad de que sean:
 

a) Dos chicas.
P(chica1, chica2) = P(chica1)P(chica2 | chica1) =(18/30)·(17/29) ≅ 0,352

b) Dos chicos.
P(chico1, chico2) = P(chico1)P(chico2 | chico1) = (12/30)·(11/29) ≅ 0,152

c) Una chica y un chico.
P(chica1, chico2) = P(chica1)P(chico2 | chica1) =(18/30)·(12/29) ≅ 0,248

¿Con esto es suficiente en este caso como en los dos casos anteriores?
No, porque en este caso el orden importa, puede ser que primero se elija a una chica y luego a un chico o viceversa. Entonces

P(chico1, chica2) = P(chico1)P(chica2 | chico1) =(12/30)·(18/29) ≅ 0,248

P(chica y  chico) =  P(chica1, chico2) +  P(chico1, chica2) = 2·0,248 = 0,496

También se puede calcular teniendo en cuenta que el suceso de una chica y un chico es el contrario de solo chicas o solo chicos. por tanto

P(chica y  chico) = 1 − (P(chica1, chica2)  + P(chico1, chico2)) = 0,496

5. Tiramos un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que a puntuación de la segunda tirada sea superior a la de la primera?

Hay dos maneras de hacerlo:
Método 1) Tabla de doble entrada

Dado 1º ->	1	2	3	4	5	6
1
2	Sí
3	Sí	Sí
4	Sí	Sí	Sí
5	Sí	Sí	Sí	Sí
6	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí

Aplicando Laplace: P(2ª tirada mayor que 1ª) = 15/36 ≅ 0,42

Método 2) P(2ª tirada mayor que 1ª) = 
P(1ª = "1")·P(2ª > 1) + P(1ª = "2")·P(2ª > 2)+P(1ª = "3")·P(2ª > 3)+P(1ª = "4")·P(2ª > 4)+P(1ª = "5")·P(2ª > 5)= 
(1/6)·(5/6) +  (1/6)·(4/6) + (1/6)·(3/6) + (1/6)·(2/6) + (1/6)·(1/6) ≅ 0,42

6. Una familia tiene 4 hijos.Si la probabilidad de que nazca una niña es 0,51 un niño 0,49. Calcula la probabilidad de que:

Los sucesos son independientes.

a) Sean todas chicas

P(TODAS chicas) = 0,51⁴ = 0,068

b) Alguno sea chico

Que alguno sea chico quiere decir que haya un chico, o dos, o tres o cuatro. Es decir, lo contrario de que no haya ningún chico, osea que todas sean chicas.

Por tanto
P(ALGÚN chico) = 1 − P(NINGÚN chico) = 1 − P(TODAS chicas) = 0,932

c) Haya dos chicas y dos chicos

P(chica1, chica2, chico3, chico4) =  (0,51)²·(0,49)² = 0,062

Pero hay varias formas de reordenar 2 chicas y 2 chicos. Aquí usaremos la combinatoria y cálculo de combinaciones

C_4,2 = V_4,2/P₂ = (4·3)/2 = 6

P(2 chicas y 2 chicos = 6·P(chica1, chica2, chico3, chico4) = 0,375

7. Tenemos dos urnas. La urna A  con 3 bolas blancas y 5 negras. Y la urna B con 6 blancas y 2 negras. Tiramos dos monedas para elegir la urna. Si salen dos caras saco una bola de la urna A, y en cualquier otro caso saco una bola de la urna B. Calcula la probabilidad de:

P(Urna A) = P(Cara 1, Cara2) = (1/2)·(1/2) = 1/4 = 0,25
P(Urna B) = 1 − 0,25 = 0,75

Diagrama de árbol del experimento


a) Sacar una bola blanca

Hay que sumar las probabilidades de las dos ramas que acaban en una bola blanca

P(Blanca) = 0,25·(3/8) + 0,75·(6/8) = 0,656

b) Que la hayamos sacado de la urna A Si la bola extraída es blanca

Queremos calcular P(Urna A|Blanca)

Aplicamos la definición y las probabilidades del diagrama de árbol. Recordad que la probabilidad de una rama se obtiene multiplicando las probabilidades de cada segmento y la probabilidad de que salga bola blanca de la urna A o de la urna B es lo que hemos calculado en el apartado anterior.





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