Probabilidad condicionada (20/05/21)

 

Solución a los ejercicios de la ley de Laplace

Probabilidad condicionada y experimento compuesto

Empecemos con un ejemplo.

Tenemos una urna con 100 bolas con dos características: color y número. la distribución de las bolas se refleja en la siguiente tabla de contingencia:

	"1"	"2"	"3"
Bola Roja	20	15	0
Bola Negra	35	0	30

En este contexto podemos hacer dos preguntas consecutivas, una sobre el color y otra sobre el número. A esto lo llamamos experimento compuesto, primero preguntamos por el color y luego por el número o viceversa.

En estas circunstancias se pueden hacer varias preguntas distintas:
¿Probabilidad de que salga bola roja Y con el 1?
¿Probabilidad de que la bola tenga un 1 SI sé que es roja?
¿Probabilidad de que la bola sea roja SI sé que tiene el 1?

Con la tabla de contingencia y la ley de Laplace todas estas preguntas son fáciles de contestar. Veamos:
¿Probabilidad de que salga bola roja Y con el 1?
 P(Roja Y 1) =  P(Roja ∩ 1) = 20/100 = 0,2

Como ya dijimos antes "Y" = ∩ intersección.

¿Probabilidad de que la bola tenga un 1 SI sé que es roja?

Esto que vamos a calcular se llama probabilidad condicionada y se escribe de esta forma:

P(1 SI Roja) = P(1 | Roja) = 20/(20+15) = 20/35 = 0,57
En este caso no dividimos entre 100, sino entre 35 que es el número de bolas rojas que hay

¿Probabilidad de que la bola sea roja SI sé que tiene el 1?
 P(Roja SI 1) = P(Roja | 1) = 20(20 + 35) =20/55 = 0,36

Probabilidad condicionada

En general, la probabilidad de que suceda A SI antes ha sucedido B es

P(A SI B) = P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)

O también,  P(A Y B) = P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B)

Otro ejemplo:
Una urna contiene 3 bolas verdes y 2 rojas. Extraemos dos bolas:
¿Probabilidad de que ambas sean verdes?

Aplicamos la última fórmula que hemos visto que sirve para calcular la probabilidad de que ocurran dos cosas una detras de otra, llamamos V1 al suceso de que sea verde la primera bola que sacamos y llamamos V2 a que sea verde la 2ª bola que sacamos.

P(V1 Y V2) = P(V1 ∩ V2) = P(V1)·P(V2|V1)

P(V1)·P(V2|V1) quiere decir probabilidad de que la primera bola sea verde por probabilidad de que la 2ª sea verde SI la primera ha sido verde.

• P(V1) = 3/5 Al principio HAY 3 bolas verdes de 5
• P(V2|V1)= 2/4 QUEDAN 2 bolas verdes de 4

P(V1 ∩ V2) = P(V1)·P(V2|V1) = 3/5·2/4 = 3/10 = 0,3

¿Probabilidad de que la primera sea verde y la segunda roja?

P(V1 ∩ R2) = P(V1)·P(R2|V1) = 3/5·2/4 = 3/10 = 0,3

También se puede hacer este ejercicio usando el viejo Diagrama de árbol


En este caso cada una de las preguntas anteriores corresponde a una rama del árbol y la probabilidad de esa rama es el producto de cada paso de ese camino.

Video sobre probabilidad condicionada y urnas

Ejercicios para practicar:

1. Extraemos dos cartas de una baraja española (40 cartas). ¿Cuál es a probabilidad de que la primera sea un as y la segunda un rey? No se devuelve la primera carta a la baraja antes de sacar la segunda (SIN REEMPLAZAMIENTO)

2. Extraemos dos cartas de una baraja española (40 cartas). ¿Cuál es a probabilidad de que la primera sea un as y la segunda un rey? Se devuelve la primera carta a la baraja antes de sacar la segunda (CON REEMPLAZAMIENTO)

3. Una urna tiene 5 bolas negras y 3 blancas. Sacamos tres bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean blancas? ¿Y negras?

4. Se extraen 3 cartas de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean bastos?
a) Con reemplazamiento
b) Sin reemplazamiento