Derivada de una función compuesta: Regla de la cadena (13/05/21)

Ya hemos visto como derivar funciones elementales, pero ¿y si es una función compuesta?

Como ejemplo elegimos una función compuesta que se pueda derivar también como una función elemental g[f(x)] = (2 x + 1)²= 4x² + 4 x + 1

f(x) = (2 x + 1)2 es una función compuesta pues la menera de calcular su valor es

• función 1) Multiplicamos x por 2 y sumamos 1  f(x) = 2x + 1
• función 2) Elevamos al cuadrado g(f) = (f)²

Primero lo derivamos ya desarrollado (4 x² + 4 x + 1)' = 8 x + 4
Si derivamos ahora  [(2 x + 1)²]` = 2 (2x + 1)¹ = 4x + 2   ¡¡¡¡MAL!!!!

Nos falta algo ¿Qué?

En las funciones compuestas se aplica la regla de la cadena (pág 193 del libro):

g[f(x)] = [g(f)]'·f '(x)

Para derivar g[f(x)] se hace en orden inverso al cálculo del valor de  g[f(x)]

Tabla de derivadas y ejemplos

Aplicándolo a  g[f(x)] = (2 x + 1)²

Primero hay que derivar el cuadrado (que es lo último que calculamos) y despues derivamos (2x + 1)

[(2 x + 1)²]` = 2 (2x + 1)¹·(2x + 1)' = 2 (2x + 1)·2 = 4(2x + 1) = 8x + 4  ¡¡¡¡BIEN!!!!

Siempre hay que multiplicar  por f '(x)

Otros ejemplos:

f(x) = sen (x +3) => 
f '(x) = [sen (x +3)]' = [cos(x + 3)]·(x  + 3)' = [cos(x + 3)]·1 = cos(x + 3) 

f(x) = sen (x² +3) => 
1º se calcula (x² +3) y luego el seno => 1º se deriva el seno y luego (x² +3)  
f '(x) = [sen (x² +3)]' = [cos(x² + 3)]·(x²  + 3)' = [cos(x² + 3)]·2x = 2x·cos(x² + 3) 

f(x) = e sen x 
1º se calcula el sen x y luego la exponencial => 1º se deriva la exponencial y luego el sen x 
f '(x) = (e^{sen x} )' = (e^{sen x})·(sen x)' = (enecesario, ^{sen x})·(cos x)

En este vídeo se puede ver varios ejemplos de derivadas de funciones elementales y compuestas

Aplicando la regla de la cadena, si es  haced los ejercicios 12, 13, 14, 15 , 16, 17, 18 y 19 (pág 183)

Tenéis muchos ejemplos en esta hoja

También podemos transformar las fórmulas de derivads en otras que incluyan la regla de la cadena. Solo hace falta cambiar x por f(x) y multiplicar el resultado por f '(x)

Función potencial                  [(f(x))ⁿ]' = n [f(x)]^{n - 1}·f '(x)
Funciones Trigonométricas   [sen (f(x))] ' = f '(x)·cos f(x)       
                                                   [cos (f(x))] ' = − f '(x) sen f(x)
Función exponencial             (e^f(x))' =( e^f(x))· f '(x)= f '(x)e^f(x)                
Función logarítmica   

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