Distribución binomial (3/06/21)

Vamos a usar uno de los problemas de ayer para explicar la  

distribución binomial.

6. Una familia tiene 4 hijos.Si la probabilidad de que nazca una niña es 0,51 un niño 0,49. Calcula la probabilidad de que haya dos chicas y dos chicos

La probabilidad de que ocurran dos sucesos independiente A y B es el producto de las probabilidades P(A y B) = P(A)·P(B)

Para un orden concreto:

P(chica 1ª, chica 2ª, chico 3º, chico 4º) =  (0,51)²·(0,49)² = 0,062

Pero hay varias formas de reordenar 2 chicas y 2 chicos. Usando un diagrama de árbol nos salen 6 combinaciones distintas: 

{AAOO, AOAO, OAAO, OAOA, OOAA, AOOA}

Otra forma de calcularlo. Tenemos cuatro lugares en los que colocar a las dos A, 4 para la primera A y 3 para la segunda. En total V_4,2 = 4·3 = 12 variaciones. Pero luego hay varias formas de ordenar las dos A, para la primera A hay 2 lugares en los que colocarla y para la segunda  A, solo queda 1. En total, P₂ = 2·1 = 2 ordenes distintos o permutaciones.

C_4,2 = V_4,2/P₂ = (4·3)/2 = 6 combinaciones

También se puede usar otra notación llamada números combinatorios

     Calculadora de números combinatorios

P(2 chicas y 2 chicos = 6·P(chica1, chica2, chico3, chico4) = 0,375

Generalizando esta fórmula de probabilidad para una distribución binomial, en la que se repite m veces  el mismo experimento o pregunta con solo dos posibles resultados en cada repetición (sí o no, éxito o fracaso, ...), la probabilidad de tener n "éxitos" es:

q = 1 − p

Por ejemplo, si tiramos una moneda desequilibrada 20 veces  ¿Cuál es la probabilidad de que nos salgan 5 caras y 15 cruces? No es una moneda perfecta por lo que la probabilidad de cara y cruz es distinta. nos dicen que en esta moneda la probabilidad, en cada tirada, de sacar cara es p = 0,6 y cruz q = 1 − p = 0,4