Gráfica de funciones racionales (10/05/21)

Lo último que vimos fueron las asíntotas de funciones racionales y como calcular la posición de la curva f(x) respecto de las asíntotas. Con eso y todo lo anterior ya somos capaces de estudiar una función racional y hacer un esbozo de su gráfica.

1.  Dominio
2.  Asíntotas (comportamiento en )
3.  Crecimiento y extremos relativos.

Vídeo sobre la gráfica de funciones racionales

Estudio gráfico de funciones (apuntes)

Lo explicaré aplicándolo al ejercicio 2e) de la página 199.



1. Dominio

Como es racional: x² - 2 x = 0 → x(x-2)= 0
Dom f(x) = R - {0,2}

2. Asíntotas

A. Verticales: Puede haber en x = 0 y x= 2
Comprobemoslo calculando los límites laterales.
→ AV  en x = 0

¿Cómo se que si x tiende a 0 por la izquierda (x  → 0^-) el denominador vale 0⁺?

Evalúo en la hoja en sucio Den(x) = x² - 2 x para un número cercano a 0 por la izquierda (por ejemplo x = -0,1) → (-0,1)² - 2·(-0,1) = + 0,21 > 0  → 0⁺

E igual en el otro caso.

Por otro lado, como el resultado de los límites es infinito sabemos que hay asíntota vertical con ecuación x = 0



Como el resultado es infinito → AV  en x =2

Como el grado de numerador (2) es igual algrado del denominador habrá asíntota horizontal (ver esquema). Calculemos la ecuación de la recta horizontal a la que se acercará la función cuando vayamos muy a la derecha (+∞) o muy a la izquierda (- ∞)



Como el resultado NO es infinito, hay asíntota horizontal y= 1

Para saber si nos acercamos a la recta y = 1 desde abajo (1^-) o desde arriba (1⁺) lo que hacemos es evaluar (en la hoja en sucio) la función para un valor grande de x en valor absoluto. Por ejemplo, para x → - ∞ cogemos x = -100 que nos da y(-100) = 0,98 (1^- desde abajo) y para x → +∞ cogemos x = + 100 que nos da y(100) = 1,02 (1⁺ desde arriba)

3. Puntos singulares, crecimiento y extremos relativos

Para encontrar los puntos singulares igualamos a 0 la derivada


y' = 0 → −2 x² − 4x + 4 = 0 → x² + 2 x − 2 = 0 → x₁ = 0,73 x₂ = −2,73 (Puntos singulares)

Para analizar el crecimiento de y estudiamos el signo de y'

x	(−∞;−2,73)	−2,73	−2,73:0)	0	(0;0,73)	0,73	(0,73;∞)	2	(2,∞)
y'	−	0	+	∞	+	0	−	∞	−
y	↘	Min	↗	A.V.	↗	Max	↘	A.V.	↘

Con esta información ya podemos montar un boceto con las asíntotas y los máximos y mínimos relativos



4. (Opcional) Si no lo vemos suficientemente claro siempre podemos calcular una tabla de valores o los puntos de corte de y con el eje X y con el eje Y.

Y ahora la gráfica completa uniendo los fragmentos que tenemos:



Otro ejemplo de función racional con ASÍNTOTA OBLICUA
 

Para practicar: ejercicio 2 apartado b) y apartado d) de la página 199. Y ejercicio 35 de la página 207