Ecuación de la recta tangente a f(x) (3004)

La ecuación de una recta que pase por el punto (x₀, y₀) con pendiente m es

y = y₀ + m(x − x₀)

 

Si el punto pertenece a la función f(x) entonces y₀=f(x₀)

y = f(x₀) + m(x− x₀)

Ejemplo: La recta secante que corta a f(x) = x² en x = − 2 con pendiente m=−3

f(− 2) = (− 2)² = 4  =>  y = 4 + 2(x+2)

Para ver mejor
 

Sabemos que la derivada de una función mide la inclinación de la curva en ese punto, como la pendiente en una recta. Miralo aquí: Derivada y pendiente

De hecho la derivada es la pendiente de la recta tangente, por su definición

m_tg = f ' (x₀)

 

Recuerda que f ' (x₀) es solo un número como la pendiente

La recta tangente a f(x) en x= x₀  es la recta que

• pasa por el punto (x₀, f(x₀))
• m_tg = f ' (x₀) 

Y su ecuación es: y = f(x₀) + f '(x₀) (x − x₀)

 

Un par de ejemplos:

13.(206)a) Escribe la ecuación de la recta tangente a f(x) = x² − 5x + 6 en x=2

 La recta que:

• pasa por (2, f(2))
• m = f'(2)

f(2)  = 2² − 5·2 + 6 = 0

f '(x) = 2x − 5 --> f'(2) =2·2 − 5 = −1 

Entonces y = 0 + (−1)(x −2)  -> y = −x + 2

15 (206) a) Escribe la ecuación d el arecta tangente a f(x) = x² + 4x + 1 que sea paralela a la recta 2x + y + 1= 0

La pendiente de 2x + y + 1= 0 es

Despejamos y = − 2x −1  -> m = −2

Como ambas rectas son paralelas -> Tienen al misma pendiente

 m_tg = −2

 Como la pendiente de la tangente es la derivada:

f ' (x)  = −2    ->   2x + 4 = −2  -> x= −3

Por tanto, las dos rectas son paralelas en x = −3  

 f(−3) = (−3)² +4·(−3) + 1 = −2

Evidentemente m = −2  

La recta es: y = −2 −2(x −(−3))  -> y =−2x − 8

En este vídeo podéis ver una explicación de como calcular la ecuacion de la recta tangente.