Ejercicios de puntos singulares y crecimiento (2804)

Comprueba que f(x) = x³ + 3x no tiene puntos singulares y estudia su crecimiento

Puntos singulares -> f '(x) = 0

f '(x) = 3x² + 3 = 0; 3(x² + 1) = 0; x² + 1= 0; x² = −1 SIN SOLUCIÓN REAL

Por lo tanto esta función NO tiene puntos singulares

x	(−∞,∞)
f '(x)	Positiva
f (x)	Creciente

 Esta función SIEMPRE es creciente

Estudia el crecimiento de  f(x) = x³ − 3x² + 2 y halla los extremos relativos (máximos y mínimos) ¿Cuáles son los puntos singulares de f(x)?

a) f(x) = x³ − 2x² +x +2

 f '(x) = 3x² − 4x + 1 = 0

Resolviendo con la fórmula de siempre x = 1 ,  x= 1/3

f(x) tiene puntos singulares en x = 1 x= 1/3

x	(−∞,1/3)	1/3	(1/3,1)	1	(1, ∞)
f '(x)	Positiva	0	Negativa	0	Positiva
f (x)	Creciente	Max  f(1/3)=58/27	Decreciente	Mín f(1)=2	Creciente

b) f(x) = x⁴ − 8x² + 10

f '(x) = 4x³ − 16x = 0; 4x(x² − 4) = 0

• 4x = 0; x=0
• x² − 4 = 0; x² = 4; x= −2    ,  x= +2

Esta función tiene puntos singulares en  x= −2,  x= +2 y x= 0

x	(−∞, −2)	−2	(−2,0)	0	(0, +2)	2	(2, +2)
f '(x)	Negativa	0	Positiva	0	Negativa	0	Positiva
f (x)	↘️	Min f(−2)= −6	↗️	Max f(0)=10	↘️	Min f(2) = −6	↗️

Estudia el crecimiento de  f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 3 y halla los extremos relativos (máximos y mínimos) ¿Cuáles son los puntos singulares de f(x)?

Estudiamos el signo de f '(x)
Resolvemos f '(x) = 0 → f '(x) = 6x² − 6x −12= 0; x² − x − 2 = 0

x = −1; x = 2

Los puntos singulares de f(x)  son x = 0 y x = 2

x	(−∞,−1)	−1	(−1,2)	2	(2, ∞)
f '(x)	Positiva	0	Negativa	0	Positiva
f (x)	Creciente	Max  f(−1)=10	Decreciente	Mín f(2)=−17	Creciente