Inecuaciones de 2º grado (4/12/20)

Inecuaciones de 2º grado

Al contrario que en las ecuaciones de 1er grado, aquí la resolución no es como en la ecuaciones de 2º grado, aunque sí habrá que usar una ecuación de 2º grado para resolver la inecuación.

 Vamos a resolver la inecuación x² - 3x - 4 < 0

Todo se basa en que la curva P(x)  = x² - 3x - 4 es una PARÁBOLA de uno de estos dos tipos 

1º) Resolvemos la ecuación  x² - 3x - 4  = 0 para hallar los puntos de corte con el eje X

x1 = −1  x2 = 4

2º) Análisis del signo

Ahora queda saber cuál de las dos parábolas es, o sea en que parte de la recta real el polinomio es positivo y en qué parte negativo. Como −1 y 4 nos divide la recta en zonas en las que x² - 3x - 4 tiene SIGNO CONSTANTE solo hace falta evaluar el polinomio en un punto que esté entre -1 y 4.

 Por ejemplo en x= 0 --> P(0) = 0² - 3·0 - 4 = - 4 < 0 NEGATIVO

Si calculamos P(1) o P(2) o P(1,45) nos saldrán valores distintos pero SIEMPRE NEGATIVOS en todo el intervalo (-1,4)

x	(-∞,-1)	-1	(-1, 4)	4	(4, ∞)
x²-3x-4	+	0	−	0	+

 No hace falta debido a la forma de la parábola, pero podemos comprobar que pasa en el intervalo (-∞, -1) viendo el signo de P(-2) = (-2)² - 3(-2) - 4 = +6 > 0

3º) Solución

La inecuación nos pide que el polinomio sea NEGATIVO y eso ocurre en el intervalo intermedio

Entonces, la solución es x∈(-1,4)

 Ahora resolvemos x² - 3x - 4 ≤ 0

La primera y la segunda parte son iguales, porque el polinomio es el mismo solo cambia la desigualdad.

3º) La solución es x∈[-1,4]

Se incluyen los extremos del intervalo en los que P(x) =0

Ahora resolvemos x² - 3x - 4 > 0 

3º) La solución son dos intervalos como hay que ponerlos juntos usamos la unión de intervalos x∈(-∞,-1) ∪ (4, ∞)

 Ahora resolvemos x² - 3x - 4 ≥ 0

Este caso es como el anterior, pero hay que incluir  -1 y  4 . Entonces
x∈(-∞,-1] ∪ [4, ∞)

Para el próximo íahay que hacer los ejercicios 47 y 48 de la pág 102