Soluciones de ejercicios de la unidad 7 de 1º bachillerato

En el fichero pdf que esta más abajo tenéis una fotocopia de los ejercicios de las páginas 177 y 178 del libro de texto. En esta fotocopia están los enunciados y al lado, escrito a mano, las soluciones. En algún límite en el que sea necesario calcular los límites laterales, he puesto las soluciones en una llave siendo el resultado de arriba el límite por la izquierda y el de abajo el límite por la derecha.

Haced todos los ejercicios que podáis, compradlo con estas soluciones y comproba los resultados discordantes, preguntándome si no entendéis el resultado, o el error cometido.

Solución de los ejercicios del 1 al 23 (p 177-178) sobre continuidad y límites (U7)

Límites infinitos en funciones polinómicas y racionales

Existe un criterio que permite calcular fácil mente un limite de una función polinómica o racional:

Si x tiende a infinito (o a - infinito) aproximamos las función polinómica por su término principal y la función  racional por el cociente de sus dos términos principales (uno en el numerador y otro en el denominador).

Resumiendo si x tiende a infinito nos quedamos solo con los términos principales.

¿Por qué? Porque cuando x toma valores cada vez más grandes son los términos de mayor grado los que más contribuyen al resultado del cálculo de la fórmula, por lo tanto, para un valor de x suficientemente grande el término principal nos da el resultado de la fórmula con un error pequeñísimo.

Se pueden ver un par de ejemplos, una función polinómica y otra racional en estos archivos:

• Límites infinitos de funciones polinómicas y racionales (pdf)
• Límites infinitos de funciones polinómicas y racionales (xls)
•  Límites infinitos de funciones polinómicas y racionales (ods)

Las sucesiones de las que hable en la última clase [3ºESO ampliación]

El último día de clase antes de las vacaciones de Semana Santa hablamos de sucesiones y os dejé tres sucesiones de las que había que deducir el siguiente término a partir de los términos ya conocidos.

En cierta manera calcular el siguiente término de una sucesión se parece al método científico. Hay que  buscar una propiedad común a todos los términos conocidos o un procedimiento que nos dé un término a partir de los anteriores, hacer una hipótesis, comprobarla, y si todo va bien, hacer la predicción.

Seguro que podéis buscar (y encontrar)  estas series en Google pero lo divertido es pensar, no tener la solución.

Sucesión 1: 2,10,12,16,17,18,19,...

Esta ya la solucionasteis en clase. Para quién no estuviese atento o no lo viese la pista es que está serie sería distinta si hablásemos en inglés. Además hay dos soluciones igualmente correctas.

Sucesión 2: 1, 11, 21, 1211, ...

Sucesión 3: 2,6,42, ...

Buena Semana Santa.

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Modelo de diapositiva para el trabajo de Rocas (4º ESO)

Si pincháis en este enlace Descargar modelo PowerPoint 

El programa usado para la presentación es PowerPoint. En cada diapositiva modelo se puede insertar una foto, un título con el nombre de la roca, un texto con el tipo de roca(ígnea, sedimentaria o metamórfica) y un comentario mediano (4 o 5 renglones) sobre esta roca.

Los equipos pueden ser de dos o tres personas.

Os recuerdo que la fecha límite de entrega es el jueves 17 de marzo.

Cuando hayáis acabado el trabajo lo podéis enviar al siguiente correo: flobo@educa.madrid.org

Soluciones a los problemas 5 a 7 de "Tiempo, distancia y velocidad" [3 ESO ampliación ]

Aquí están las soluciones de los problemas del tema de "Tiempo, distancia y velocidad" del 5 al 7. Son los problemas solucionados en las clases del viernes 26 de febrero.
El problema n. 7, que trata sobre como un perro Centella alcanza a otro llamado Rayo está aquí resuelto en función de los dos parámetros m y h, tal y como está en el libro. En la última clase os propusé el mismo problema pero sustuyendo los parámetros m y h por números concretos. En particular m = 1,5 y h = 20 metros.

Soluciones problemas del 5 al 7 "Tiempo, distancia y velocidad"

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La solución correcta del ejercicio 10 pg 180 (2º Bach)

Definitivamente el enunciado del ejercicio 10 e (pg 180) es incorrecto en el sentido de que la solución de este ejercicio es demasiado complicada para el nivel de este curso y no coincide con la expuesta en el solucionario.

En particular, la ecuación de cuarto grado que aparece no se puede resolver factorizando por Ruffini.

Empecemos viendo la gráfica de la función:

Se puede ver que los extremos están entre 1 y 2 uno de ellos y el otro entre 3 y 4.  Esta claro queno se podrían obtener usando la regla de Ruffini. Se puede acceder a la página de la gráfica pinchando sobre ella.

Las soluciones exactas de esta ecuación $$x^4-6x^3+15x^2-28x+24=0$$  se pueden ver en esta página.

Soluciones a los problemas 1 a 4 de "Tiempo, distancia y velocidad" [3 ESO ampliación ]

Aquí están las soluciones de los problemas del tema de "Tiempo, distancia y velocidad" del 1 al 4. Son los problemas solucionados en las clases del viernes 23 y el martes 19 de febrero.

Soluciones problemas del 1 al 4 "Tiemo, distancia y velocidad"

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Ejercicio sobre transformaciones de funciones

Vamos a resolver aquí, de nuevo, el ejercicio 1 de la pagina 116 en el que teníamos que usar las distintas transformaciones de una curva al hacer pequeños cambios en la fórmula que define la función.
Primero dibujamos la función $$f(x)=\frac{1}{x}$$
Esta función es una función de proporcionalidad inversa o hiperbólica con asíntota horizontal y vertical en los ejes x e y con el punto x= 0 fuera de su dominio. Junto con estas ideas gráficas y, si es necesario, una tabla de valores nos sale la siguiente gráfica.

Si se pincha en la imagen saltamos a la página original con todos los parámetros.

 

Después tenemos la función $$g(x)=\frac{1}{x+3}$$

Evidentemente esta función es igual a f(x + 3). Se trata de sumar una constante a la variable x y esto implica en la gráfica un desplazamiento horizontal respecto de la gráfica anterior.

Dibujamos juntas las curvas de la función anterior y de esta para apreciar mejor la transformación gráfica. En color rojo la nueva función.

Después tenemos la función $$h(x)=-\frac{1}{x+3}$$

Evidentemente esta función es igual a - g(x). Multiplicamos por -1 la fórmula de la función anterior y esto implica que la nueva gráfica es el reflejo respecto del eje horizontal.

Después tenemos la función $$j(x)=-\frac{1}{x+3}+8$$

Evidentemente esta función es igual a h(x) + 8. Se trata de sumar una constante a la formula de la función anterior h(x) y esto implica en la gráfica un desplazamiento vertical respecto de la gráfica anterior.

Soluciones de los sistemas de ecuaciones por Gauss (Navidad))

En el siguiente enlace tenéis las soluciones de los sistemas de ecuaciones resueltos por el método de Gauss. Este camino no es el único posible, si llegáis a las mismas soluciones por un camino distinto pero correcto está bien.

Solución de los sistemas

Fijaos en las ecuaciones de los sistemas: el ejercicio 43 corresponde al 48, 49 y 50, y el ejercicio 44 corresponde al ejercicio 50.

Siempre hay que apuntar los pasos que dais y las operaciones que realizáis con las ecuaciones para llegar a un sistema escalonado.

Importante:
SI -> Sistema Incompatible (sin solución)
SCI -> Sistema Compatible Indeterminado (con muchas soluciones). Hay quie escribir dos de las incógnitas en función de la tercera.

3 ESO ampliación Soluciones a los problemas del 11 al 13 de proporrcionalidad

Aquí están las soluciones de los problemas de proporcionalidad del 11 al 13. Son los problemas solucionados en la clase del viernes 5 de Febrero.

Soluciones problemas del 11 al 13 

Y para aquellos que hayan perdido, o por algún otro motivo ignoto no encuentren alguna de las fotocopias que he repartido aquí dejó todas los enunciados de los problemas del libro que estamos usando en clase.

Problemas de Ampliación

Trabajad bien para el examen de este martes. Aún queda tiempo.

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3 ESO ampliación Soluciones a los problemas del 6 al 10 de proporrcionalidad

Aquí están las soluciones de algunos de proporcionalidad del 6 al 10. Son los problemas solucionados en la clase del viernes 29 de enero.

Soluciones problemas del 6 al 10

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3 ESO ampliación Soluciones a los problemsa de 3, 4 y 5 de proporrcionalidad

Aquí están las soluciones de algunos de proporcionalidad (3, 4 y 5). Son los problemas solucionados en la clase del viernes 22 de enero.

Soluciones página 33

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3 ESO Ampliación: Soluciones ejercicios de potencias yproporcionalidad

Aquí están las soluciones de los últimos ejercicios de potencias (11 y 12) y los primeros de proporcionalidad (1 y 2)

Soluciones página 32

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3 ESO Ampliación: soluciones ejercicios de potencias

sregún dije, a partir de ahora publicaré las soluciones de los problemas ya explicados y resueltos en clase. Esto no debería sustituir a los apuntes que tomáis en clase. Solo es una ayuda para que podáis completar y aclarar lo que no hayáis podido escribir en clase.

por lo tanto usad esto para completar los apuntes y solucionar dudas, pero siempre preguntando en clase lo que no esté suficientemente claro.

Además, lo que está en el libro no siempre tiene que coincidir al 100% con lo que se da en clase ya que las explicaciones del profesor son siempre una adaptación al alumnado.

Solución ejercicios de potencias

Para cualquier duda flobo@educa.madrid.org o en los comentarios

Ejercicios 8 de enero 4º ESO

Para aquellos que no lo apuntaron o no vinieron el día 8 de enero, aquí os dejo (sin que sirva de precedente) lo que habría que hacer para el lunes:

• Problemas 6, 7 y 8 pag. 81
• Sistemas de ecuaciones ej 1 (d,f ) y ej 2 (d,e) pag.  83

Teniendo en cuenta que este jueves tenemos examen de matemáticas, conviene hacer estos ejercicios que servirán en parte de repaso para este examen y podrán hacer aflorar dudas que convendrá resolver antes del jueves.

Por cierto, el lunes expliqué la resolución d elos sistema de ecuaciones por el método de sustitución y de reducción. Algo ya conocido del curso pasado.

Nueva herramienta en la página de utilidades de bachillerato

Acabo de añadir una nueva herramienta on-line para bachillerato. Es una aplicación en GeoGebra que se puede usar para resolver sistemas de inecuaciones (1 bach)  o problemas de optimización (2 bach).

Calculadora problemas de Optimización : una página web que nos ofrece una aplicación que pinta la región factible de un sistema de inecuaciones lineales y busca los máximo y mínimos de una función lineal definida en esa región.

El único defecto es que parece que el sistema solo puede contener 3 inecuaciones.

Normas de solicitud de ingreso en las Universidades de Madrid

Enhorabuena a todos los que habéis aprobado la PAU y espero que la nota obtenida sea suficiente para emprender lo que deseéis hacer ahora.

Aquí voy a dejar colgado el documento con todas las instrucciones para los papeleos de las universidades:
Normas de solicitud de ingreso en las Universidades Públicas de Madrid

Dice exactamente lo mismo que algunos recogisteis como fotocopias el viernes pasado.


Suerte y ánimo en la nueva singladura a la que os enfrentáis.

Exámenes 1 bachillerato curso 14-15

Aquí os dejo los exámenes de 1º de bachillerato del curso 14-15 para que podáis practicar a los que os haga falta.

• Números reales 
• Polinomios, ecuaciones y sistemas 
• Gauss y funciones 
• Funciones y límites 
• Aplicaciones de las derivadas
• Estadística y probabilidad 

Para todos buen verano, y para algunos practicad para mejorar con vistas a septiembre.

flobo@educa.madrid.org

Exámenes 2º ESO curso 14-15

Para aquellos que se tengan que presentar a las pruebas de septiembre (e incluso para los que no tengan que hacerlo) aquí dejo colgados los exámenesque hemos hecho este año:

• Enteros potencias divisibilidad
• Decimal y sexagesimal
• Fracciones
• Proporciones
• Álgebra
• Ecuación
• Sistema de ecuaciones
• Geometría
• Funciones

Practicad para mejorar y suerte.

flobo@educa.madrid.org

Exámenes de 4º ESO opción A curso 2014-15

Aquí os dejo un muestrario de los exámenes de este año para preparar el examen final a quién le haga falta.

• Enteros y fracciones
• Número real y problemas aritméticos
• Álgebra, polinomios y ecuaciones
• Sistemas de ecuaciones
• Estadística y probabilidad
• Funciones 

Dudas en flobo@educa.madrid.org o en clase o en los recreos.

Solución completa a la unidad 10 "Distribución binomial"

Aquí os dejó las soluciones a los ejercicios de la unidad 10.

Unidad 10: Distribuciones de probabilidad. La binomial.

• Definición de probabilidad. Propiedades.
• Ley de Laplace.
• Pruebas compuestas. Independencia.
• Distribuciones de probabilidad. Media y desviación típica.
• Distribución binomial.

Solución completa de los ejercicios de la unidad 10

Enlaces PAU 2015

En primer lugar para tener a mano todos los exámenes PAU (hasta el año pasado) que ha habido en la universidad de Alcalá:

Pruebas PAU

Para resolver dudas sobre algunos aspectos de esta prueba como instrucciones diversas, calendario, horarios ... consultad esto:

Pruebas de acceso (selectividad 2015)

Bueno todo esto lo teníais a mano usando Google, y ahora lo último pero no menos importante. Este lunes no habrá clase de matemáticas de 2º de bachillerato por decisión de los asistentes a la clase del pasado jueves. A cambio para que no os venga mal y enlazar con la biblioteca después tenemos clase el martes a 2ª hora de 9:15 a 10:10 (más o menos). Id preparando la dudas.

Hasta la vista.

Solución completa a la unidad 9 "Estadística bidimensional"

Aquí os dejó las soluciones a los ejercicios de la unidad 9.

Unidad 9: Estadística bidimensional

• Nube de puntos correlación:. Visión intuitiva.
• Covarianza y factor de correlación.
• Rectas de regresión.

Solución completa de los ejercicios de la unidad 9

Video sobre el experimento de la cárcel de Stanford

Como os dije el otro día en clase hay que desconfiar, en general, de los supuestos estudios estadísticos que pretenden demostrar la relación causa-efecto entre la genética y la inteligencia, sobretodo cuando los presentan los beneficiados por la conclusión. En todo caso se puede encontrar una correlación entre estas características y otras causas reales (como la pobreza, la falta de recursos y de oportunidades asociadas al nivel socioeconómico). Algo relacionado con esto aparece en esta entrevista del minuto 3:30 al 5:00

Entrevista a Phillip Zimbardo (Redes)

Además de ser interesante por lo dicho anteriormente, en esta entrevista se habla de dos experimento psicológicos muy importantes del s. XX: el de la prisión de Stanford y el de Milgram.

Quizás penséis que todo esto de confundir causa-efecto con correlación es cosa de iletrados en matemáticas o esto de relacionar la capacidad con la genética (o la sangre como se decía antes en la aristocracia) es cosa del pasado pero en 2013 se publicó un artículo en Science que defendía esto. En el siguiente enlace podéis leer al respecto:

Las teorías genetistas de las desigualdades (V. Navarro)

Solución completa a la unidad 8 "Estadística"

Aquí os dejó las soluciones a los ejercicios de la unidad 8.

Unidad 8: Estadística

• Estadística descriptiva. Población, muestra, variable estadística.
• Gráficas.
• Parámetros estadísticos: media, desviación típica, C.V.
• Mediana, cuartiles y percentiles.

Solución completa de los ejercicios de la unidad 8

Solución completa a los ejercicios de estadística

Aquí os dejó las soluciones a los ejercicios de las unidades 11, 12 y 13 sobre estadística

Estadistica

• Muestreo: aleatorio simple, sistemático y 
• Distribución estadística Normal  estandar N(0, 1) y N(media, desv.)
• Teorema central.
• Estimación de la media muestral y poblacional. Tamaño muestral.
• Distribución binomial.
• Estimación de la proporción.

Solución completa de los ejercicios de la unidad 11
Solución completa de los ejercicios de la unidad 12
Solución completa de los ejercicios de la unidad 13
 

Solucón completa a la unidad 7 "Derivada"

Aquí os dejó las soluciones a los ejercicios de la unidad 7.

Unidad 7: Derivadas.

• Tasa de variación media
• Definición de derivada.
• Función derivada.
• Calculo de derivadas. Regla de la cadena,
• Derivada y crecimiento.
• Ecuación de la recta tangente.
• Gráficas

Solución completa de los ejercicios de la unidad 7

Soluciones completas a la unidad 10 "Probabilidad"

Aquí os dejó las soluciones a los ejercicios de las unidades 10 "Cálculo de probabilidades".

Unidad 10: Cálculo de probabilidades

• Algebra de sucesos.
• Propiedades de la Probabilidad
• Ley de Laplace
• Probabilidad condicionada
• Pruebas compuestas
• Probabilidad total
• Ley de Bayes

Solución completa de los ejercicios de la unidad 10

Gráfica de la función del problema 19 (pag 227)

El problema consistía en calcular cuánta basura arroja una fábrica en una balsa de desperdicios.

La velocidad con la que la fábrica llena una balsa responde a la función f(x) = 0,01 t^2 - 0,2 t ^2 + t +1

Se resuelve calculando la integarl definida entre 0 y 24 que corresponde al área encerrada entre f(x), el eje x, el eje y y la recta verticale x= 24. Para solucionarlo fácilmente supusimos que f(x) > 0 entre x=m 0 y x= 24, es decir, no tiene ningún punto de corte con el eje x en ese intervalo. En el siguiente gráfico podeis ver como esta suposición es correcta, es decir, f(x) siempre está por encima del eje x en esa zona.

Gráfica de f(x) en fooplot.com

Soluciones completas a las unidades 5 y 6 de Matemáticas CCSS de 1º Bachillertato

Aquí os dejó las soluciones a los ejercicios de las unidades 5 y 6.

Unidad 5: Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas

• Composición de funciones.
• Función inversa
• Gráficas y propiedades de las funciones exponenciales.
• Gráficas y propiedades de las funciones logarítmicas.
• Gráficas y propiedades de las funciones trigonométricas.

Solución completa de los ejercicios de la unidad 5

Unidad 6: Límites de funbcioes, continuidad y ramas infinitas

• Continuidad de funciones.
• Límite de una función cuando x tiende a un punto
• Límites laterales.
• Asintota vertical de funciones racionales
• Límites de funciones racionales tipo 0/0
• Límites cuando x tiende a infinito
• Ramas infinitas y asíntotas horizontales.

 Solución completa de los ejercicios de la unidad6