Sistemas de ecuaciones lineales. Métodos de resolución

Sistemas de ecuaciones

Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

Solución de un sistema de ecuaciones

La solución de una ecuación con dos incógnita es una par de valores (uno para x y el otro para y) y para cada ecuación hay muchas soluciones.

Para 2x + y = 1; 

Damos un valor a x y despejamos y --> 

Si x = 0 --> 2·0 + y = 1 --> y = 1   sol: x = 0 y= 1 -->  (0,1)

Si x = 1  --> 2·1 + y = 1 --> y = 1−2 = −1  Sol: x= 1, y= −1 --> (1, −1)

Y así podemos seguir indefinidamente.

Podemos hacer lo mismo con la otra ecuación: −3x + y = −4

Y obtendríamos una lista de soluciones de esta ecuación: (0,−4);(2,2);...

La solución de un sistema de ecuaciones es una solución COMÚN a las dos ecuaciones. Pero no hay que ir probando porque tenemos métodos para resolver los sistemas.

Vídeo sobre el método de sustitución

Método de resolución: sustitución

1. Despeja UNA incógnita de UNA ecuación

 ¿Cuál?  La que sea más fácil de despejar, en la ecuación en la que sea más fácil despejarla.

 

2. Sustituye  el valor de ESA incógnita en la OTRA ecuación

Hemos convertido el sistema con dos incógnitas en UNA SOLA ecuación con UNA SOLA incógnita

3. Resolver la ecuación obtenida

−3x + 1 −2x = −4; −5x = −5; x = +1

4. Una vez conocido el valor de la incógnita, usa la fórmula para halllar el valor de la otra incógnita

La solución es x= +1, y =  −1  o también (+1, −1)

Por último, se puede comprobar la solución, como en cualquier ecuación, sustituyendo la supuesta solución y viendo si las igualdades que salen son verdad

 Vídeo sobre el método de reducción

Método de reducción

Es el último que nos queda y es el que nos lleva a una ecuación más sencillas.

Primero lo aplicaremos a un ejemplo:

Este sistema sería difícil de resolver por el método de sustitución o el de igualación porque la ecuación resultante tendría denominadores y paréntesis.

El objetivo del método de reducción es que los coeficientes de una misma incógnita sean opuestos en las dos ecuaciones 

En este sistema YA LO TENEMOS

Sumamos las dos ecuaciones para que la y desaparezca:

Hemos convertido el sistema en una sola ecuación en x. La resolvemos:

7x = 49 → x = 49/7 → x= 7

Ahora hallamos el valor de y, sustituyendo el valor de x en una de las dos ecuaciones y despejando:

3·(7) + 5 y = 11 → 21+5y = 11 → 5y = −10 → y = −2

Ahora resolveremos un ejemplo más general:

El OBJETIVO siempre es tener los coeficientes de una misma incógnita iguales y de signo opuesto. 

1. Elegimos eliminar la y, para eso multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente de y en la segunda ecuación, y la segunda ecuación por el menos coeficiente de la y en la primera ecuación:

 

2. Ya hemos conseguido tener coeficientes opuestos en el término en y. Sumamos las ecuaciones para eliminar la y

3. Resolvemos la ecuación que nos queda

−11x= −11 →  x= +1

4. Sustituimos en una de las dos ecuaciones ORIGINALES y despejamos la otra incógnita.

2·(1) + 3y = 5 →  3y = 3 → y = +1

La solución es x= +1 y = +1. O (+1, +1)