Funciones cuadráticas (705)

Función cuadrática

• Fórmula: polinomio de 2º grado-> y(x) = ax² + bx + c 
• Gráfica: Parábola

Hay un punto especial en la parábola marcado en las dos anteriores: el VÉRTICE

Representación de una función cuadrática

1. Cálculo de las coordenadas del Vértice V(x_v, y_v)
   
   Para calcular la altura del vértice usamos la fórmula de la función, igual que con cualquier otro punto cuya abscisa conocemos:  y_v = y(x_v)
2. Tabla de valores alrededor del vértice (5 o 7 puntos)
   

Estudia y representa y = x² − 4

a = 1    b= 0

Coordenadas del vértice

y_v = y(0) = 0² − 4 =  − 4  --> V(0, − 4)

Tabla de valores

y(1) = 1² − 4 = −3
y(−1) = (−1)² − 4 = −3
y(2) = 2² − 4 = 0

x	−3	−2	−1	0	+1	+2	+3
y	5	0	−3	− 4	−3	0	5

La tabla se fabrica con los puntos que rodean el vértice x = 0, y son simétricos.

Dibujamos los puntos y los unimos con una parábola:

 

Estudia y representa y = x² −2x + 3    a = 1 b= −2

  
y_v = y(1) =1² −2·1 +3 = +2   -> V(1, 2)

x	−2	−1	0	1	+2	+3	+4
y	11	6	3	2	3	6	11

Gráfica de funciones polinómicas (505)

Lo necesario para representar una función está en Estudio gráfico de funciones

Pero si la función es polinómica  el proceso se simplifica.

1. Dom f(x) = ℜ para cualquier polinómica
2. Comportamiento en el ∞
   No hay asíntotas: solo interesa saber si la función sube o baja cuando nos vamos MUY a la derecha (∞) o MUY a la izquierda (- ∞)
3. Crecimiento y Puntos Singulares
   f '(x) = 0
   

1.a) Representa f(x) = 2 x³ − 3x² − 12x + 8

Dom f(x) = ℜ

              

f '(x) = 6 x² − 6x −12 = 0  -> x² − x −2 = 0 -> x =−1 ; x= 2

x	(−∞,−1)	−1	(−1,2)	2	(2,∞)
f '(x)	+	0	−	0	+
f (x)	↗	Máx 15	↘	Mín −12	↗

1.b) Representa f(x) = − 3 x⁴ + 4x³ + 36x² − 90

Dom f(x) = ℜ

  

f '(x) = − 12 x³ + 12 x² + 72 x = 0  ->12x(−x² + x + 6) = 0

• 12x = 0 -> x = 0 
• −x² + x + 6 = 0 ->  x= −2; x= 3
  

x	(−∞,−2)	−2	(−2,0)	0	(0,3)	3	(3,+∞)
f '(x)	+	0	−	0	+	0	−
f (x)	↗	Máx −26	↘	Min − 90	↗	Máx 99	↘

1.c) Representa f(x) = x⁴ + 4x³

Dom f(x) = ℜ

f '(x) = 4x³ + 12 x² = 0-> 4x²(x + 3) = 0 -> x= 0; x=−3

x	(−∞,0)	0	(0,−3)	−3	(−3,∞)
f '(x)	−	0	−	0	+
f (x)	↘	Mín −27	↗	P.I. 0	↗

P.I = Punto de inflexión

Puntos de corte: En este caso merece la pena hallar los puntos de corte con el eje X porque es mucho más fácil que en los otros dos casos anteriores.

PC eje X -> f(x) = x⁴ + 4x³ = 0 -> x³(x + 4)= 0 -> x= 0; x= −4

Ayuda: usadlo con moderación y responsabilidad 😉   desmos

Para el próximo día ej 35 y 38 a) de la página 207

Ecuación de la recta tangente a f(x) (3004)

https://www.tiktok.com/@themathmotion/video/7508450792249085190?is_from_webapp=1&sender_device=pc

 La ecuación de una recta que pase por el punto (x₀, y₀) con pendiente m es

y = y₀ + m(x − x₀)

 

Si el punto pertenece a la función f(x) entonces y₀=f(x₀)

y = f(x₀) + m(x− x₀)

Ejemplo: La recta secante que corta a f(x) = x² en x = − 2 con pendiente m=−3

f(− 2) = (− 2)² = 4  =>  y = 4 + 2(x+2)

Para ver mejor
 

Sabemos que la derivada de una función mide la inclinación de la curva en ese punto, como la pendiente en una recta. Miralo aquí: Derivada y pendiente

De hecho la derivada es la pendiente de la recta tangente, por su definición

m_tg = f ' (x₀)

 

Recuerda que f ' (x₀) es solo un número como la pendiente

La recta tangente a f(x) en x= x₀  es la recta que

• pasa por el punto (x₀, f(x₀))
• m_tg = f ' (x₀) 

Y su ecuación es: y = f(x₀) + f '(x₀) (x − x₀)

 

Un par de ejemplos:

13.(206)a) Escribe la ecuación de la recta tangente a f(x) = x² − 5x + 6 en x=2

 La recta que:

• pasa por (2, f(2))
• m = f'(2)

f(2)  = 2² − 5·2 + 6 = 0

f '(x) = 2x − 5 --> f'(2) =2·2 − 5 = −1 

Entonces y = 0 + (−1)(x −2)  -> y = −x + 2

15 (206) a) Escribe la ecuación d el arecta tangente a f(x) = x² + 4x + 1 que sea paralela a la recta 2x + y + 1= 0

La pendiente de 2x + y + 1= 0 es

Despejamos y = − 2x −1  -> m = −2

Como ambas rectas son paralelas -> Tienen al misma pendiente

 m_tg = −2

 Como la pendiente de la tangente es la derivada:

f ' (x)  = −2    ->   2x + 4 = −2  -> x= −3

Por tanto, las dos rectas son paralelas en x = −3  

 f(−3) = (−3)² +4·(−3) + 1 = −2

Evidentemente m = −2  

La recta es: y = −2 −2(x −(−3))  -> y =−2x − 8

En este vídeo podéis ver una explicación de como calcular la ecuacion de la recta tangente.

Contenidos el examen (30/04/21)

Lo que entra en el próximo examen es:

• Problemas  que se resuelven planteando un sistema de ecuaciones
• Funciones: qué son, interpretación de una gráfica
• Funciones: 
• Crecimiento, máximos y mínimos relativos a partir de una gráfica
• Periodicidad
• Continuidad a partir de una gráfica
• Funciones lineales: que son, gráfica, 
• Pendiente y altura en el origen a partir de la fórmula
  
• Cálculo de la pendiente y altura en el origen a partir de una gráfica
• Ecuación punto-pendiente de una recta
• Cálculo de la pendiente conociendo las coorde nadas de dos puntos de la recta

para trabajar todo esto es conveniente que repaseis la teoria y rehagáis ejercicios que hemos hecho en clase (que deberían estar en vuestros cuadernos o en el aula virtual).

Además iré añadiendo aquí material para que podáis preparar más este tema soi os hace falta.

• Colección de problemas de sistemas con solución
  
• Sistemas de ecuaciones y problemas (solución al final del documento) 
• Ejercicios de funciones y gráficas (elegid solo los parecidos a los que hemos hecho en clase)