Sistemas lineales y método de Gauss

El método de Gauss es una mezcla de los métodos de reducción y sustitución que usábamos antes pero con más orden

El objetivo del método de Gauss es: convertir un sistema cualquiera en uno escalonado equivalente

Dos sistemas son equivalentes si tienen la misma solución

Operaciones que transforman un sistema en otro equivalente

1. Cambiar de orden las filas.
2. Cambiar de orden las columnas. (Cuidado: al final hay acordarse de este cambio)
3. Sustituir una fila por ella multiplicada por un número (fila proporcional)
4. Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras filas 

Una combinación lineal de filas es la suma de los productos de filas por números

F1 -> 2·F1 - 3·F2 + F3

Triangularizar o poner ceros

Usando esto de forma ordenada se ponen ceros en la 1ª columna por debajo de la 1ª fila usando la primera fila. Después se ponen ceros en la 2ª columna con la 2ª fila por debajo de la 2ª fila y así sucesivamente hasta tener todos cero por debajo de la diagonal, o sea, un sistema escalonado.

Ejemplo. Vamos a resolver el sistema que vimos en la entrada anterior:

El objetivo consiste en llegar a sistema escalonado. Priemro cambiamos de orden las ecuaciones colocando en 2º lugar la ecuación que ya tiene solo dos variables y en primer lugar una ecuación con coeficientes ñlo más pequeños posible.

Ahora hay que eliminar la z de la 3ª ecuación y para eso usamos la 1ª ecuación.

F3 + F1 quiere decir que hemos sustituido la 3ª ecuación por ella más la primera ecuación 

(2 x -- y -- z = --3)+(x -- 2 y + z) = (3x -- 3 y = 6)

Hay que dejar este rastro al solucionar un sistema por el método de Gauss

Ahora hay que eliminar y de la 3ª ecuación. Para ello usamos la 2ª ecuación, pues si volviésemos a usar la 1ª nos volvería a aparecer la z. Ya la primera ecuación no se vuelve a utilizar.

Ya casi está. Resumiendo el proceso completo es:

 ¡Ya tenemos un sistema escalonado! Solo queda despejar y sustituir

Hagamos otro ejercicio. 4 a de la pág 90